Родился Алексей Поздняков 26 Февраля 1916 года в селе Тулиновка, ныне Тамбовского района Тамбовской области, в семье рабочего. Окончил 7 классов начальной школы и 1 курс техникума механизаторов сельского хозяйства, затем работал электромонтёром. С 1936 года в Красной Армии. В 1938 году окончил Качинскую военную авиационную школу лётчиков.
Участник Советско - Финляндской войны 1939 - 1940 годов, награждён орденом Красного Знамени.
С началом Великой Отечественной войны на фронте. Сражался в небе Заполярья.
К Сентябрю 1941 года командир звена 147-го истребительного авиационного полка ( 1-я смешанная авиационная дивизия, 14-я Армия, Карельский фронт ) Лейтенант А. П. Поздняков совершил 138 боевых вылетов на штурмовку и бомбардировку живой силы и техники противника, в воздушных боях сбил 2 самолёта.
В Марте 1942 года полк стал именоваться 20-м Гвардейским ИАП и имел на вооружении американские самолёты Р-40 "Томагаук". А. Поздняков командовал эскадрильей, одновременно выполняя функции штурмана полка.
8 Апреля 1942 года в напряжённом воздушном бою на подступах к Мурманску, в паре с И. Д. Фадеевым, сбил многоцелевой двухмоторный самолёт Ме-110. Затем, при участии А. С. Хлобыстова, пикировщик Ju-87. В ходе последующего боя Капитан А. П. Поздняков тараном на встречных курсах уничтожил ведущего группы вражеских истребителей и погиб.
6 Июня 1942 года за мужество и отвагу, проявленные в схватках с врагами, Алексею Павловичу Позднякову посмертно было присвоено звание Героя Советского Союза.
Похоронен в посёлке Мурмаши Кольского района Мурманской области. Награждён орденами Ленина и Красного Знамени.